INVERS MATRIKS

Definisi Invers Matriks

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi

persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks

B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

Contoh :

perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.

  •  Misalkan A =    dan   B =   

AB =  

      = 

      = 

  =  

Perkalian AB menghasilkan  (matriks identitas berordo 2 × 2)

  • Misalkan P =    dan   Q =   

PQ=  

                                = 

                                = 

                                =  

Perkalian PQ menghasilkan .

Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus diingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas (AB = I ) Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa.

Contoh :

Diketahui matriks A =    dan   B =   tentukan Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A?

Jawab :

Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan

AB = I

AB =  

       =

       =

       = I

Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.

  • penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2

Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan A =    invers dari A adalah A-1, yaitu

A -1= , dengan det A ≠ 0

Contoh :

Tentukan invers dari matriks D =    

Jawab :

det D =    = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D -1=

      =

      =

      = 

 

Mencari  menggunakan Matrik Elementer

Matrik bujur sangkar,  A=  dengan i = 1,2,…..,n dan j= 1,2,….,n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik , sehingga

A = A =1. Dimana 1 matrik satuan.

v  Jika A mempunyai invers maka, A disebut matrik tak singular. Dan jika tidak mempunayi invers disebut matrik singular.

v  Jika A mempunyai invers maka inversnya tunggal.

Sifat-sifat invers matrik:

  1. (A+B)-1 = A-1 + B-1
  2. b.      (AB)-1 = B-1 A-1
  3. (kA)-1 = (1/k)A1, dimana k skalabilangan riil

Matrik elementer adalah matrik bujur sangkar yang diperoleh dari matrik satuan yang sesuai, yang dikenai hanya oleh satu operasi basis elementer.

Contoh matrik elementer:

E1= , E2 = ,  E3 = ,  E4 =

E1 diperoleh dari matrik satuan berordo 2×2 yang dikenal satu operasi baris elementer yang pertama, yaitu mengalikan baris kedua dengan konstanta -3. E2 diperoleh dari matrik satuan 3×3 yang dikenal satu operasi  baris elementer yang kedua, yaitu menukar baris kedua dengan baris ketiga. Sedangkan E3 dikenai operasi baris elementer yang ketiga, yaitu menjumlahkan kelipatan -5 baris ketiga dengan baris pertama. Sedangkan matrik E4 bukan matrik elementer, karena tidak mungkinperkalian matrik elementer denagn sebarang matrik yang sesuai dari sebelah kiri, akan mempunyai pengaruh, sebagaimana melakukan operasi baris elementer terhadap matrik tersebut.

Keistimewaan lain, setiap operasi baris elementer yang mengubah matrik satuan menjadi matrik elementer, mempunyai lawan, yang mengubah matrik elementer menjadi matrik satuan, kenyataan ini ditabel kan dibawah ini:

 

OBE yang mengubah I menjadi E

OBE yang mengubah E menjadi I

Mengalikan satu baris dengan konstanta yang bukan 0

Mengalikan satu baris dengan 1/c

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan k kali baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan –k kali baris ke-i dengan baris ke-j

 

Setiap matrik elementer mempunyai invers dan inversnya diperoleh dari lawan operasinya.

v  Jika A matrik bujur sangkar nxn, dan matrik A ekuivalent baris dengan matrik satuan In, maka dapat ditemukan m matrik elementer, sehingga jika dikalikan dengan matrik A, maka matrik A tersebut menjadi matrik satuan, misalkan:

 

Em……..E2E1A = In

 

Karena tiap matrik elemenetr mempunyai invers, maka jika dilakukan perkalian dengan invers masing-masing matrik elementer, didapat:

E1-1E2-1…….Em-1Em……E2E1A= E1-1E2-1……Em-1 In

Persamaan diatas menyatakan bahwa matrik A mempunyai invers, sebaliknya jika A mempunyai invers, berarti dipenuhi hubungan dengan mengambil:

A-1A = I. Karena matrik invers tunggal, maka diperoleh, jika A mempunyai invers, maka A ekuivalen baris dengan matriksatuan I.

Dari hasil diatas, cara praktis mendapatkan invers dari suatu matrik bujur sangkar, yaitu dengan melakukan serangkaian dengan operasi baris elementer secara bersamaan antara matrik A dengan matrik satuan I, dengan target mengubah matrik A manjadi matrik satuan I dan akibatnya didapat perubahan matrik I menjadi matrik A-1, jika A tidak bisa menjadi matrik satuan, berarti A tidak mempunyai invers. 

Contoh soal:

Encoding dan Decoding pesan-pesan rahasia, dimana Encoding merupakan kegiatan untuk menyembunyikan pesan, sehingga orang yang tidak berhak tidak mampu mengetahui pesan yang sebenarnya, sedangkan Decoding adalah kegiatan untuk menterjemahkan pesan yang telah diencoding, sehingga dapat dapat diteerima pesan aslinya. Perhatikan huruf-huruf berikut:

a

b

c

d

e

f

g

H

i

J

k

l

M

n

O

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

 

Pesan:” pergi ke pati” oleh urutan huruf-huruf diatas disampaikan dengan pesan tanpa encoding:

16 05 18 07 09 27 11 05 27 16 01 20 09 27

Jika digunakan matrik encoding:

 

Maka pesan terkirim menjadi:

   =  ,   =  ,    = , dst.

 

          Didapat: 26 31 32 39 63 89 21 59 75 41 61 63 89

            Pada pihak penerima pesan tentunya untuk bisa membacapesan tersebut harus mengubah pesan yang diterima dengan melakukan kegiatan decoding, yaitu dengan mengalikan invers dari matrik encoding, yaitu:

              =  ,    =  ,     , dst

                        Sehingga pesan dapat diketahui dengan benar.