Latest Entries »

  1. 1.      IDEAL DAN RING FAKTOR

Pengertian Ideal

Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal.

Definisi  :

  • Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì R dengan I ¹ F, I disebut Ideal kiri dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku rx Î I

  • Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì A dengan I ¹F, I disebut Ideal kanan dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku xr Î I

Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì A dengan I ¹F, I disebut Ideal dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku rx, xr Î I

Catatan :

1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr Î I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx =xr.

2. Ideal pasti merupakan subring tetapi tidak sebaliknya

 

Ring Faktor

Ring factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor. Jika I ideal dari ring A maka I subring dari A, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (A,+). Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam A, ditulis A/I = {r + I | r Î A}. Berikut ini didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada A/I :

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I dan (a + I)(b + I) = ab + I

maka operasi-operasi tersebut well defined, artinya :

jika x + I = x’ + I Ù y + I = y’ + I maka (x + I) + (y + I) = (x’ + I) + (y’ + I)

dan (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

Bukti :

Ambil x + I = x’ + I Ù y + I = y’ + I

Karena I ideal maka x – x’, y – y’ Î I, Sehingga :

(x – x’) + (y – y’) Î I Û (x + y) – (x’+ y’) Î I

Û (x + y) + I = (x’+ y’) + I

Û (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)

 

(x – x’) + (y – y’) Î I Û (x + y) – (x’+ y’) Î I

 

Û (x + y) + I = (x’+ y’) + I

Û (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)

(x – x’)y, x’(y – y’) Î I, x’, y Î R Û xy – x’y, x’y – x’y’ Î I

Û (xy – x’y) + (x’y – x’y’) Î I

Û xy – x’y’ Î I

Û xy + I = x’y’+ I

Û (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

Terbukti bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan pada A/I tersebut well defined.

Dalam teori grup dikenal grup normal dan analog dengan grup normal, dalam

teori ring didefinisikan ideal dalam suatu ring. Berikut ini diberikan definisi ideal dari suatu ring.

 

Definisi III.1

Diketahui A ring dan I himpunan bagian tidak kosong dari A.

Himpunan A dinamakan suatu dari A jika :

(1) Himpunan I tertutup di bawah operasi pengurangna.

(2) Himpunan I mengandung semua hasil kali xa dan ax dengan x dalam I dan a sebarang anggota dalam A.

Berdasarkan syarat (2) maka terlihat bahwa setiap ideal dari suatu ring merupakan ring bagian.

Definisi III.2

Diketahui A ring komutatif dengan anggota satuan dan x anggota tertentu dari A. Jika didefinisikan (x) = { ax│x dalam A } maka (x) ideal dalam A dan dinamakan ideal utama (principal ideal) yang dibangun oleh x.

Definisi III.3

Diketahui A ring dan I sebarang ideal dalam A. Sistem aljabar A/I didefinisikan sebagai berikut :

(1) A/I = { a + I│a dalam A }

(2) Operasi penjumlahan dalam A/I didefinisikan sebagai

( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I dan operasi pergandaan dalam A/I didefinisikan sebagai ( a + I ) ( b + I ) = ab + I

Definisi III.4

Diketahui A ring komutatif.

(1) Suatu ideal I dalam A dengan sifat bahwa ab dalam I berakibat salah satu dari a dalam I atau b dalam I dinamakan ideal prima (prima ideal) dalam A.

(2) Suatu ideal {0}  I A sehingga tidak ada ideal sejati dalamA yang mengandung I dinamakan ideal maksimal (maximal ideal) dalam A.

 

  1. 2.      TEOREMA

Teorema III.1

(1) Jika F field maka hanya {0} dan F yang merupakan ideal dalam F.

(2) Sebaliknya, jika A ring komutatif dengan anggota satuan dan hanya memiliki ideal {0} dan A maka A field.

Bukti :

(1) Misalkan I ideal dalam F.

Jika I = {0} maka jelas bahwa I ideal.

Jika I ≠ {0} maka I mengandung suatu anggota tidak nol x.Karena x juga dalam F maka terdapat x-1 dalam F sehingga untuk sebarang a dalam F berlaku (ax-1 )x = a (x x-1 ) = a1 = a dalam I (karena I ideal). Berarti untuk setiap a  dalam F maka a juga dalam I atau F  I

Karena I ideal dari F maka juga I  F sehingga diperoleh F = I.

(2) Jika x sebarang anggota tidak nol dalam A maka (x) ideal yang mengandung 1x = x sehingga (x) ≠ {0}.

Karena ideal yang tidak nol dalam A hanyalah A maka (x) = A. Karena A mengandung anggota satuan maka I dalam (x) sehingga terdapat a dalam A sehingga ax = 1. Berarti A ring komutatif dengan anggota satuan dan setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers.

Terbukti A field.

Berdasarkan pada ideal dari suatu ring dapat didefinisikan suatu system aljabar yang dikenal dengan nama ring kuosen (quotient ring) dan secara formal dinyatakan dalam definisi berikut ini.

Teorema III.2

Sistem aljabar A/I yang didefinisikan di atas merupakan ring.

I. (A/I, +) grup komutatif

1. tertutup

ambil sebarang a + I, b + I Î A/I maka a, b Î A dan a + b Î A, sehingga, (a + I) + (b + I) = (a + b) + I Î A/I

2. assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I

maka a, b, c ÎR, (a + b) + c = a + (b + c)

[(a+I)+(b+I)]+(c+I) = [(a+b)+I] + (c+I)

= [(a+b)+c] + I = [a+(b+c)] + I

= (a+I) + [(b+I) + (c+I)]

3. Ada elemen netral

Ambil 0 + I = I Î A/I dengan 0 elemen netral dalam A maka 0 + I = I

adalah elemen netral dalam A/I, sebab:

(a + I) + I = a + I dan I + (a + I) = a + I untuk “a + I Î A/I

4. Setiap elemen dalam A/I mempunyai invers

“a + I Î A/I maka a, -a Î A maka -a + a = a + (-a) = 0 Î A, dan

–a + I Î A/I, sehingga (-a + I)+(a + I) = (-a + a)+I = 0 + I = I dan

(a + I)+(-a + I) = (a + (-a))+I = 0 + I = I

jadi (-a + I) adalah invers dari (a + I)

5. Kommutatif

“(a + I), (b + I) Î A/I maka a, b Î A dan a + b = b + a Î A sehingga

(b + a) + I Î A/I dan berlaku :

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)

 

II. (A/I,.) tertutup dan asosiatif

1. tertutup

Ambil sebarang (a + I), (b + I) Î A/I maka a, b Î A dan ab Î A, sehingga (a + I) (b + I) = ab + I Î A/I

2. assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I maka a, b, c ÎA, (ab)c = a(bc)

[(a + I)(b + I)](c + I) = [(ab) + I](c + I)

= [(ab)c] + I = [a(bc)] + I

= (a + I) [(b + I) (c + I)]

III. (A/I,+,.) distributive

 

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I maka a, b, c ÎA, dengan

(a + b) c = ac + bc dan a(b + c) = ab + ac

[(a + I) + (b + I)](c + I) = [(a + b) + I](c + I)

= [(a + b)c] + I

= [ac + bc)] + I

= (ac + I) + (bc + I)

= (a + I)(c + I) + (b + I)(c + I)], dan

(a + I) [(b + I) + (c + I)] = [(a + I) [(b + c) + I]

= [a (b + c)] + I = [ab + ac)] + I

= (ab + I) + (ac + I)

= (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I)]

Dari I, II, dan III terbukti A/I adalah ring yang selanjutnya disebut ring faktor (qoutient rings). A/I terdiri dari koset-koset kiri (kanan) dari ideal I dalam A. Dari pembuktian di atas, tampak bahwa setiap ideal dari suatu ring A pastilah membentuk ring faktor A/I.

Teorema III.3

(1) Jika A komutatif dan I sebarang ideal dalam A maka A/I komutatif.

(2) Jika A mempunyai anggota satuan I dan ideal I ≠ A maka A/I mempunyai anggota satuan 1 + A.

(3) Jika A komutatif dan mempunyai anggota satuan dan I ideal prima dengan I ≠ A maka A/I daerah integral.

 

Bukti :

(1)   A/ B = a + 1

B/ 1 = b + 1

A/ 1 + B/ 1 = ( a + 1) + (b + 1)

                   = ( a + b) + 1

                   = ( b + a) + 1

                   = ( b + 1) + (a + 1)

                   = B/ 1 + A/1

Karena A/1 + B/1 = B/ 1 + A/1

Sehingga A/1 terbukti  komutatif.                 

(2)   Karena A ring komutatif dengan anggota satuan maka dengan mengingat (1) dan (2) diperoleh A/I ring komutatif dengan anggota satuan.

Tinggal dibuktikan bahwa A/I tidak mempunyai pembagi nol.

Misalkan ( a + I ) ( b + I ) = 0 + I. Diperoleh ab + I = 0 + I sehingga barakibat ab dalam I. Karena I ideal prima maka berlaku salah satu a dalam I atau b dalam I.

Hal ini berarti berlakku salah satu a + I = 0 + I atau b + I = 0 + I.

Terbukti A/I daerah integral.

 

Daftar Pustaka

 

Setiyawan, Adi. 2008. Diktat Kuliah Aljabar Abstrak II (Teori Ring). Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana.

INVERS MATRIKS

Definisi Invers Matriks

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi

persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks

B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

Contoh :

perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.

  •  Misalkan A =    dan   B =   

AB =  

      = 

      = 

  =  

Perkalian AB menghasilkan  (matriks identitas berordo 2 × 2)

  • Misalkan P =    dan   Q =   

PQ=  

                                = 

                                = 

                                =  

Perkalian PQ menghasilkan .

Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus diingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas (AB = I ) Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa.

Contoh :

Diketahui matriks A =    dan   B =   tentukan Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A?

Jawab :

Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan

AB = I

AB =  

       =

       =

       = I

Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.

  • penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2

Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan A =    invers dari A adalah A-1, yaitu

A -1= , dengan det A ≠ 0

Contoh :

Tentukan invers dari matriks D =    

Jawab :

det D =    = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D -1=

      =

      =

      = 

 

Mencari  menggunakan Matrik Elementer

Matrik bujur sangkar,  A=  dengan i = 1,2,…..,n dan j= 1,2,….,n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik , sehingga

A = A =1. Dimana 1 matrik satuan.

v  Jika A mempunyai invers maka, A disebut matrik tak singular. Dan jika tidak mempunayi invers disebut matrik singular.

v  Jika A mempunyai invers maka inversnya tunggal.

Sifat-sifat invers matrik:

  1. (A+B)-1 = A-1 + B-1
  2. b.      (AB)-1 = B-1 A-1
  3. (kA)-1 = (1/k)A1, dimana k skalabilangan riil

Matrik elementer adalah matrik bujur sangkar yang diperoleh dari matrik satuan yang sesuai, yang dikenai hanya oleh satu operasi basis elementer.

Contoh matrik elementer:

E1= , E2 = ,  E3 = ,  E4 =

E1 diperoleh dari matrik satuan berordo 2×2 yang dikenal satu operasi baris elementer yang pertama, yaitu mengalikan baris kedua dengan konstanta -3. E2 diperoleh dari matrik satuan 3×3 yang dikenal satu operasi  baris elementer yang kedua, yaitu menukar baris kedua dengan baris ketiga. Sedangkan E3 dikenai operasi baris elementer yang ketiga, yaitu menjumlahkan kelipatan -5 baris ketiga dengan baris pertama. Sedangkan matrik E4 bukan matrik elementer, karena tidak mungkinperkalian matrik elementer denagn sebarang matrik yang sesuai dari sebelah kiri, akan mempunyai pengaruh, sebagaimana melakukan operasi baris elementer terhadap matrik tersebut.

Keistimewaan lain, setiap operasi baris elementer yang mengubah matrik satuan menjadi matrik elementer, mempunyai lawan, yang mengubah matrik elementer menjadi matrik satuan, kenyataan ini ditabel kan dibawah ini:

 

OBE yang mengubah I menjadi E

OBE yang mengubah E menjadi I

Mengalikan satu baris dengan konstanta yang bukan 0

Mengalikan satu baris dengan 1/c

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menukar baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan k kali baris ke-i dengan baris ke-j

Menjumlahkan kelipatan –k kali baris ke-i dengan baris ke-j

 

Setiap matrik elementer mempunyai invers dan inversnya diperoleh dari lawan operasinya.

v  Jika A matrik bujur sangkar nxn, dan matrik A ekuivalent baris dengan matrik satuan In, maka dapat ditemukan m matrik elementer, sehingga jika dikalikan dengan matrik A, maka matrik A tersebut menjadi matrik satuan, misalkan:

 

Em……..E2E1A = In

 

Karena tiap matrik elemenetr mempunyai invers, maka jika dilakukan perkalian dengan invers masing-masing matrik elementer, didapat:

E1-1E2-1…….Em-1Em……E2E1A= E1-1E2-1……Em-1 In

Persamaan diatas menyatakan bahwa matrik A mempunyai invers, sebaliknya jika A mempunyai invers, berarti dipenuhi hubungan dengan mengambil:

A-1A = I. Karena matrik invers tunggal, maka diperoleh, jika A mempunyai invers, maka A ekuivalen baris dengan matriksatuan I.

Dari hasil diatas, cara praktis mendapatkan invers dari suatu matrik bujur sangkar, yaitu dengan melakukan serangkaian dengan operasi baris elementer secara bersamaan antara matrik A dengan matrik satuan I, dengan target mengubah matrik A manjadi matrik satuan I dan akibatnya didapat perubahan matrik I menjadi matrik A-1, jika A tidak bisa menjadi matrik satuan, berarti A tidak mempunyai invers. 

Contoh soal:

Encoding dan Decoding pesan-pesan rahasia, dimana Encoding merupakan kegiatan untuk menyembunyikan pesan, sehingga orang yang tidak berhak tidak mampu mengetahui pesan yang sebenarnya, sedangkan Decoding adalah kegiatan untuk menterjemahkan pesan yang telah diencoding, sehingga dapat dapat diteerima pesan aslinya. Perhatikan huruf-huruf berikut:

a

b

c

d

e

f

g

H

i

J

k

l

M

n

O

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

 

Pesan:” pergi ke pati” oleh urutan huruf-huruf diatas disampaikan dengan pesan tanpa encoding:

16 05 18 07 09 27 11 05 27 16 01 20 09 27

Jika digunakan matrik encoding:

 

Maka pesan terkirim menjadi:

   =  ,   =  ,    = , dst.

 

          Didapat: 26 31 32 39 63 89 21 59 75 41 61 63 89

            Pada pihak penerima pesan tentunya untuk bisa membacapesan tersebut harus mengubah pesan yang diterima dengan melakukan kegiatan decoding, yaitu dengan mengalikan invers dari matrik encoding, yaitu:

              =  ,    =  ,     , dst

                        Sehingga pesan dapat diketahui dengan benar.

 

 

 

  1. ABDUL BASIT 59451006 MTK – B
  2. ACHSIN SYIFAUL MILAH 59451007 MTK – B             1       Koneksi Matematika 13 Oct ’12
  3. ADE SUDJANA 59451008 MTK – B           1         Non Cetak 13 Oct ’12
  4. AGUS LAMAWI 59451009 MTK – B                 1   Kinerja Guru Matematika 13 Oct ’12
  5. ANNE INDRIYUNI 59451010 MTK – B                   1 DLL 13 Oct ’12
  6. EGA SAMANTRI 59451011 MTK – B         1           Media berbasis IT 14 Oct ’12
  7. EMHA AINUN NAJIB 59451012 MTK – B   1                 Pengembangan Tes Standar 13 Oct ’12
  8. ENUNG NURIYAH 59451013 MTK – B             1       Pemahaman Matematika 12 Oct ’12
  9. ETRI YULYANTI 59451014 MTK – B     1               Keterampilan Pribadi 12 Oct ’12
  10. EVI NURJANAH 59451015 MTK – B             1       Pemahaman Matematika 12 Oct ’12
  11. FAKHRUDDIN 59451016 MTK – B 1                   Penggunaan Modifikasi 12 Oct ’12
  12. FIQRI ULWIYATUL IMAMAH 59451017 MTK – B 1                   Penggunaan Modifikasi 12 Oct ’12
  13. FIRDA HALAWATI 59451018 MTK – B                   1 Pendidikan Luar Sekolah 12 Oct ’12
  14. FITRIA APRILIANTI 59451019 MTK – B   1                 Pengembangan Tes Standar 12 Oct ’12
  15. HANA EL MUTHMAINAH 59451020
  16. IIS ISMIYAH 59451021 MTK – B           1         Pengembangan Bhn Ajar non cetak 13 Oct ’12
  17. IRMA HANIFAH 59451022 MTK – B           1         Bahan cetak 13 Oct ’12
  18. KHOROTUN AYUNI 59451023 MTK – B             1       Koneksi Matematika 12 Oct ’12
  19. KUSMANA 59451024 MTK – B       1             Perkemb. & pertumb D. Karakter 12 Oct ’12
  20. LAELIYAH 59451025 MTK – B       1             Perkemb. & pertumb D. Karakter 12 Oct ’12
  21. MAULANA YUSUF 59451026
  22. MELITA 59451027 MTK – B     1               Keterampilan Pribadi 12 Oct ’12
  23. MOH. REZA FAHRUROZI 59451028 MTK – B           1         Bahan cetak 12 Oct ’12
  24. NADIYA FEBRIYANI 59451029 MTK – B             1       Koneksi Matematik 12 Oct ’12
  25. NAJAH SHOLIHAH 59451030 MTK – B           1         Pengembangan Bhn Ajar non cetak 12 Oct ’12
  26. NENA HANI LUTHFIANA 59451031 MTK – B               1     Berpikir Geometri 12 Oct ’12
  27. NENENG NURWATI 59451032 MTK – B               1     Berpikir Geometri 12 Oct ’12
  28. NIHAYAH 59451033 MTK – B             1       Komunikasi Matematik 12 Oct ’12
  29. NILA PURBANDINI 59451034 MTK – B               1     Berpikir Statistik 12 Oct ’12
  30. NINIS HAYATUN NISA 59451035 MTK – B               1     Berpikir Aljabar 12 Oct ’12
  31. NURUL HAQ 59451036 MTK – B             1       Penalaran matematik 12 Oct ’12
  32. POPI INDRIANI 59451037 MTK – B       1             Perkem. Ket. Berpikir Umum 12 Oct ’12
  33. RATENI 59451038 MTK – B             1       Komunikasi Matematik 12 Oct ’12
  34. RATNA DUMILAH 59451039 MTK – B     1               Mutiple Intelegent 12 Oct ’12
  35. RINDA DELIANI 59451040
  36. RIRIN NURAENI 59451041 MTK – B     1               Keterampilan Sosial 13 Oct ’12
  37. ROSI FEBRIANI F 59451042 MTK – B 1                   Penggunaan Strategi Kontemporer 12 Oct ’12
  38. RUDI PERMANA 59451043
  39. SAEFUL 59451044 MTK – B     1               Multiple Intelegent 13 Oct ’12
  40. SARAH HUZAIPAH 59451045 MTK – B             1       Komunikasi Matematik 12 Oct ’12
  41. SEPTI DIAN KURNIAWATI 59451046 MTK – B           1         Bahan cetak 12 Oct ’12
  42. SETIA GUNAWAN 59451047
  43. SITI APIYA 59451048 MTK – B                 1   Kinerja Guru Matematika 12 Oct ’12
  44. SITI NURKILAH 59451049 MTK – B             1       Komunikasi Matematik 12 Oct ’12
  45. SRI HARTINI 59451050 MTK – B       1             Perkem. Ket. Berpikir Umum 12 Oct ’12
  46. SUNEDI 59451051 MTK – B         1           Media Non Komputer 14 Oct ’12
  47. TITIN KARTINI 59451052 MTK – B                 1   Kinerja Guru Matematika 12 Oct ’12
  48. UCI SANUSI 59451053
  49. WALIM 59451054
  1. ACHMAD IQBAL ZHUMNI 59450976 MTK – A               1     Keterampilan Berpikir Geometri 12 Oct ’12
  2. ANISA RAHMAWATI 59450977 MTK – A     1               Multiple Intelegent 14 Oct ’12
  3. DENY LUKMAN NUGRAHA 59450978 MTK – D         1           Media Berbasis IT 14 Oct ’12
  4. DEVI MAISARAH 59450979
  5. DHIAR RAMDHANA 59450980 MTK – A   1                 Pengembangan Assesment Alternatif 12 Oct ’12
  6. EPI CAHYATI 59450981 MTK – D             1       Problem Solving 12 Oct ’12
  7. ERNA RAHMAWATI 59450982 MTK – A 1                   Penggunaan Strategi Kontemporer 12 Oct ’12
  8. FADILLAH 59450983 MTK – A 1                   Penggunaan Modifikasi  12 Oct ’12
  9. FITRIAH 59450984 MTK – A   1                 Pengembangan Assesment Alternatif 15 Oct ’12
  10. FUAD HIDAYAT 59450985 MTK – A 1                   Penggunaan Strategi Kontemporer 12 Oct ’12
  11. IIS NURAENI HASTUTI 59450986 MTK – A 1                   Penggunaan Strategi Kontemporer 12 Oct ’12
  12. IIS SUGIARTI 59450987 MTK – A               1     Keterempilan Berfikir Aljabar 12 Oct ’12
  13. LAILA SYAHIDA 59450988 MTK – A 1                   Penggunaan Modifikasi  12 Oct ’12
  14. LINA KURNIASIH 59450989 MTK – A             1       Koneksi Matematika 12 Oct ’12
  15. MARYANAH SITI AMINAH 59450990 MTK – A   1                 Pengembangan Tes Standar 12 Oct ’12
  16. MUHAMMAD JA’FAR 59450991 MTK – A   1                 Pengembangan Tes Standar 15 Oct ’12
  17. NUNUNG NURIYAH 59450992 MTK – A             1       Pemahaman Matematika 12 Oct ’12
  18. NUR SUANDI 59450993 MTK – A             1       Pemahaman Matematika 12 Oct ’12
  19. NURUL FAJRI 59450994 MTK – A     1               Keterampilan Sosial 15 Oct ’12
  20. NURYADI 59450995 MTK – A       1             Perkemb. & pertumb D. Karakter 12 Oct ’12
  21. NURYATI 59450996 MTK – A       1             Perkemb. & pertumb D. Karakter 12 Oct ’12
  22. PIRMAN SETIAWAN 59450997 MTK – A                   1 Pendidikan Luar Sekolah 12 Oct ’12
  23. RIANY FITRAH 59450998 MTK – A       1             Perkem. Ket. Berpikir Umum 12 Oct ’12
  24. SITI CHOERIAH 59450999 MTK – A           1         Pengembangan Bhn Ajar non cetak 12 Oct ’12
  25. SYAEFUL ANWAR 59451000 MTK – A             1       Penalaran matematik 12 Oct ’12
  26. TIA SEPTIANAWATI 59451001
  27. UMI SALAMAH 59451002 MTK – A             1       Komunikasi Matematik 12 Oct ’12
  28. WINDA SARI 59451003 MTK – A               1     Berpikir Aljabar 12 Oct ’12
  29. YULINDA 59451004 MTK – A           1         Pengembangan Bhn Ajar non cetak 12 Oct ’12
  30. ZARA ZAHRA ANASHA 59451005 MTK – A       1             Perkem. Ket. Berpikir Umum 15 Oct ’12

Hello world!

Welcome to WordPress.com! This is your very first post. Click the Edit link to modify or delete it, or start a new post. If you like, use this post to tell readers why you started this blog and what you plan to do with it.

Happy blogging!