1. 1.      IDEAL DAN RING FAKTOR

Pengertian Ideal

Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal.

Definisi  :

  • Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì R dengan I ¹ F, I disebut Ideal kiri dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku rx Î I

  • Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì A dengan I ¹F, I disebut Ideal kanan dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku xr Î I

Ø Misalkan A adalah suatu ring dan I Ì A dengan I ¹F, I disebut Ideal dari A jika :

i. “x, y Î I berlaku (x – y) Î I

ii. (“r Î A)(“x Î I) berlaku rx, xr Î I

Catatan :

1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr Î I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx =xr.

2. Ideal pasti merupakan subring tetapi tidak sebaliknya

 

Ring Faktor

Ring factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor. Jika I ideal dari ring A maka I subring dari A, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (A,+). Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam A, ditulis A/I = {r + I | r Î A}. Berikut ini didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada A/I :

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I dan (a + I)(b + I) = ab + I

maka operasi-operasi tersebut well defined, artinya :

jika x + I = x’ + I Ù y + I = y’ + I maka (x + I) + (y + I) = (x’ + I) + (y’ + I)

dan (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

Bukti :

Ambil x + I = x’ + I Ù y + I = y’ + I

Karena I ideal maka x – x’, y – y’ Î I, Sehingga :

(x – x’) + (y – y’) Î I Û (x + y) – (x’+ y’) Î I

Û (x + y) + I = (x’+ y’) + I

Û (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)

 

(x – x’) + (y – y’) Î I Û (x + y) – (x’+ y’) Î I

 

Û (x + y) + I = (x’+ y’) + I

Û (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)

(x – x’)y, x’(y – y’) Î I, x’, y Î R Û xy – x’y, x’y – x’y’ Î I

Û (xy – x’y) + (x’y – x’y’) Î I

Û xy – x’y’ Î I

Û xy + I = x’y’+ I

Û (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

Terbukti bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan pada A/I tersebut well defined.

Dalam teori grup dikenal grup normal dan analog dengan grup normal, dalam

teori ring didefinisikan ideal dalam suatu ring. Berikut ini diberikan definisi ideal dari suatu ring.

 

Definisi III.1

Diketahui A ring dan I himpunan bagian tidak kosong dari A.

Himpunan A dinamakan suatu dari A jika :

(1) Himpunan I tertutup di bawah operasi pengurangna.

(2) Himpunan I mengandung semua hasil kali xa dan ax dengan x dalam I dan a sebarang anggota dalam A.

Berdasarkan syarat (2) maka terlihat bahwa setiap ideal dari suatu ring merupakan ring bagian.

Definisi III.2

Diketahui A ring komutatif dengan anggota satuan dan x anggota tertentu dari A. Jika didefinisikan (x) = { ax│x dalam A } maka (x) ideal dalam A dan dinamakan ideal utama (principal ideal) yang dibangun oleh x.

Definisi III.3

Diketahui A ring dan I sebarang ideal dalam A. Sistem aljabar A/I didefinisikan sebagai berikut :

(1) A/I = { a + I│a dalam A }

(2) Operasi penjumlahan dalam A/I didefinisikan sebagai

( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I dan operasi pergandaan dalam A/I didefinisikan sebagai ( a + I ) ( b + I ) = ab + I

Definisi III.4

Diketahui A ring komutatif.

(1) Suatu ideal I dalam A dengan sifat bahwa ab dalam I berakibat salah satu dari a dalam I atau b dalam I dinamakan ideal prima (prima ideal) dalam A.

(2) Suatu ideal {0}  I A sehingga tidak ada ideal sejati dalamA yang mengandung I dinamakan ideal maksimal (maximal ideal) dalam A.

 

  1. 2.      TEOREMA

Teorema III.1

(1) Jika F field maka hanya {0} dan F yang merupakan ideal dalam F.

(2) Sebaliknya, jika A ring komutatif dengan anggota satuan dan hanya memiliki ideal {0} dan A maka A field.

Bukti :

(1) Misalkan I ideal dalam F.

Jika I = {0} maka jelas bahwa I ideal.

Jika I ≠ {0} maka I mengandung suatu anggota tidak nol x.Karena x juga dalam F maka terdapat x-1 dalam F sehingga untuk sebarang a dalam F berlaku (ax-1 )x = a (x x-1 ) = a1 = a dalam I (karena I ideal). Berarti untuk setiap a  dalam F maka a juga dalam I atau F  I

Karena I ideal dari F maka juga I  F sehingga diperoleh F = I.

(2) Jika x sebarang anggota tidak nol dalam A maka (x) ideal yang mengandung 1x = x sehingga (x) ≠ {0}.

Karena ideal yang tidak nol dalam A hanyalah A maka (x) = A. Karena A mengandung anggota satuan maka I dalam (x) sehingga terdapat a dalam A sehingga ax = 1. Berarti A ring komutatif dengan anggota satuan dan setiap anggota yang tidak nol mempunyai invers.

Terbukti A field.

Berdasarkan pada ideal dari suatu ring dapat didefinisikan suatu system aljabar yang dikenal dengan nama ring kuosen (quotient ring) dan secara formal dinyatakan dalam definisi berikut ini.

Teorema III.2

Sistem aljabar A/I yang didefinisikan di atas merupakan ring.

I. (A/I, +) grup komutatif

1. tertutup

ambil sebarang a + I, b + I Î A/I maka a, b Î A dan a + b Î A, sehingga, (a + I) + (b + I) = (a + b) + I Î A/I

2. assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I

maka a, b, c ÎR, (a + b) + c = a + (b + c)

[(a+I)+(b+I)]+(c+I) = [(a+b)+I] + (c+I)

= [(a+b)+c] + I = [a+(b+c)] + I

= (a+I) + [(b+I) + (c+I)]

3. Ada elemen netral

Ambil 0 + I = I Î A/I dengan 0 elemen netral dalam A maka 0 + I = I

adalah elemen netral dalam A/I, sebab:

(a + I) + I = a + I dan I + (a + I) = a + I untuk “a + I Î A/I

4. Setiap elemen dalam A/I mempunyai invers

“a + I Î A/I maka a, -a Î A maka -a + a = a + (-a) = 0 Î A, dan

–a + I Î A/I, sehingga (-a + I)+(a + I) = (-a + a)+I = 0 + I = I dan

(a + I)+(-a + I) = (a + (-a))+I = 0 + I = I

jadi (-a + I) adalah invers dari (a + I)

5. Kommutatif

“(a + I), (b + I) Î A/I maka a, b Î A dan a + b = b + a Î A sehingga

(b + a) + I Î A/I dan berlaku :

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)

 

II. (A/I,.) tertutup dan asosiatif

1. tertutup

Ambil sebarang (a + I), (b + I) Î A/I maka a, b Î A dan ab Î A, sehingga (a + I) (b + I) = ab + I Î A/I

2. assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I maka a, b, c ÎA, (ab)c = a(bc)

[(a + I)(b + I)](c + I) = [(ab) + I](c + I)

= [(ab)c] + I = [a(bc)] + I

= (a + I) [(b + I) (c + I)]

III. (A/I,+,.) distributive

 

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I Î A/I maka a, b, c ÎA, dengan

(a + b) c = ac + bc dan a(b + c) = ab + ac

[(a + I) + (b + I)](c + I) = [(a + b) + I](c + I)

= [(a + b)c] + I

= [ac + bc)] + I

= (ac + I) + (bc + I)

= (a + I)(c + I) + (b + I)(c + I)], dan

(a + I) [(b + I) + (c + I)] = [(a + I) [(b + c) + I]

= [a (b + c)] + I = [ab + ac)] + I

= (ab + I) + (ac + I)

= (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I)]

Dari I, II, dan III terbukti A/I adalah ring yang selanjutnya disebut ring faktor (qoutient rings). A/I terdiri dari koset-koset kiri (kanan) dari ideal I dalam A. Dari pembuktian di atas, tampak bahwa setiap ideal dari suatu ring A pastilah membentuk ring faktor A/I.

Teorema III.3

(1) Jika A komutatif dan I sebarang ideal dalam A maka A/I komutatif.

(2) Jika A mempunyai anggota satuan I dan ideal I ≠ A maka A/I mempunyai anggota satuan 1 + A.

(3) Jika A komutatif dan mempunyai anggota satuan dan I ideal prima dengan I ≠ A maka A/I daerah integral.

 

Bukti :

(1)   A/ B = a + 1

B/ 1 = b + 1

A/ 1 + B/ 1 = ( a + 1) + (b + 1)

                   = ( a + b) + 1

                   = ( b + a) + 1

                   = ( b + 1) + (a + 1)

                   = B/ 1 + A/1

Karena A/1 + B/1 = B/ 1 + A/1

Sehingga A/1 terbukti  komutatif.                 

(2)   Karena A ring komutatif dengan anggota satuan maka dengan mengingat (1) dan (2) diperoleh A/I ring komutatif dengan anggota satuan.

Tinggal dibuktikan bahwa A/I tidak mempunyai pembagi nol.

Misalkan ( a + I ) ( b + I ) = 0 + I. Diperoleh ab + I = 0 + I sehingga barakibat ab dalam I. Karena I ideal prima maka berlaku salah satu a dalam I atau b dalam I.

Hal ini berarti berlakku salah satu a + I = 0 + I atau b + I = 0 + I.

Terbukti A/I daerah integral.

 

Daftar Pustaka

 

Setiyawan, Adi. 2008. Diktat Kuliah Aljabar Abstrak II (Teori Ring). Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana.

About these ads